allow, permit, accept, approve

allow:誰かに何かをdo、またはhaveさせる、あるいは何かを happen させる
permit:何かが起こることを、特に公式な決定、ルール、法律などで allow すること
accept:申し出、あるいはお願いごとを受け入れること
approve:計画や提案に対して公式に accept すること

させっぱなし（禁止しない）のが allow。
公的にやってもよいと認めるのが permit。
○○しなさいという申し出やお願い事を受け入れる(やりますと返事する)のが accept
計画や提案に公的に accept するのが approve。

Reference source

• http://q-eng.com/diary/3156